site_url や home_url もちゃんと https 指定してるんだけど！？
さくらサーバのSSLなど、外側は https だけど内部は http みたいな、プロクシ経由でSSL化してるサーバ構成の場合、そんなことが起こる場合があります。 WordPress自身は http で通信されていると思っているために食い違いが出てきて、URLがおかしくなったりログインできなくなったり、不具合が出るんですね。
ちゃんとWordPress自身に https でアクセスされていることを認識してもらえば解決しますので、あわてる必要はありません。
WordPress 自身にも https だと認識してもらう
WordPress自身にSSL通信であることに気づかせるためには、設定ファイル wp-config.php に $_SERVER['HTTPS'] = 'on'; を追加するだけでOKです。
但し、 wp-settings.php が読み込まれる前に書く必要がありますので、ご注意下さい。（以下コードですと 9 行目より前に書いて下さい）
...
/** Absolute path to the WordPress directory. */
if ( !defined('ABSPATH') )
define('ABSPATH', dirname(__FILE__) . '/');
$_SERVER['HTTPS'] = 'on';
/** Sets up WordPress vars and included files. */
require_once(ABSPATH . 'wp-settings.php');
...
これでOKです。
書く場所を間違えないようにしましょう。